Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika:

a.   Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu  (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.  Pada kasus ini teorema dasar kalkulus  `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi.

Contoh:

      `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)

      `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]

     `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]

 

b.  Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga.

      Contoh:

      `\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+4}`, integran f(x) memuat batas atas di x = `\infty`

      `\int_-\infty^0 e^{2x} dx`, integran f(x) memuat batas bawah di x = `-\infty`

    `\int_-\infty^\infty \frac{dx}{1+4x^2}`, integran f(x) memuat batas atas di x = `\infty` dan batas bawah di x =`-\infty`

 

Pada contoh a (1,2,3) adalah integral tak wajar dengan integran f(x) tidak kontinu dalam batas-batas pengintegralan, sedangkan pada contoh b (1, 2, 3) adalah integral tak wajar integran f(x) mempunyai batas di tak hingga

Integral tak wajar selesaiannya dibedakan menjadi Integral tak wajar dengan integran tidak kontinu Integral tak wajar dengan batas integrasi di tak hingga.

 

Integral tak wajar dengan integran diskontinu

a. f(x) kontinu di [a,b) dan tidak kontinu di x = b

Karena f(x) tidak kontinu di x = b, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integran harus ditunjukkan kontinu di `x=b-\varepsilon (\varepsilon\rightarrow 0^+)`, sehingga

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} \int_a^{b-\varepsilon} f(x)dx`, maka

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{t\rightarrowb^-} \int_a^t f(x)dx`

b. f(x) kontinu di (a,b] dan tidak kontinu di x = a

Karena f(x) tidak kontinu di x = a, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di `x=a+\varepsilon (\varepsilon\rightarrow 0^+)`, sehingga

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} \int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx`

Karena batas bawah `x=a+\varepsilon (x\rightarrow a^-)` maka dapat dinyatakan dalam bentuk lain:

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{t\rightarrow a^+} \int_t^b f(x)dx`

c. f(x) kontinu di [a,c) `\cup` (c,b] dan tidak kontinu di x = c

Karena f(x) tidak terdefinisi di x = c, maka sesuai dengan syarat dan definsi integral tertentu integrannya harus ditunjukkan kontinu di x = c + `\varepsilon` dan `x=c-\varepsilon (\varepsilon\rightarrow0^+)`, sehingga

`\int_a^b f(x) dx=\int_a^c f(x) dx+\int_c^b f(x) dx`

`=\lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} \int_a^{c-\varepsilon} f(x)dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow0^+} \int_{c-\varepsilon}^b f(x)dx`

Dapat juga dinyatakan dengan

`\int_a^b f(x) dx=\lim_{t\rightarrow b^-} \int_a^t f(x)dx + \lim_{t\rightarrow a^+} \int_t^b f(x)dx `