Integral Tak Tentu

Hai teman-teman semua!

Pada kesempatan ini saya akan membahas mengenai materi integral tak tentu. Sebelum membahas lebih lanjut, teman-teman harus mengetahui apa sih integral itu?

Integral secara sederhana dapat disebut sebagai invers (kebalikan) dari operasi turunan. Secara umum integral terbagi atas dua yaitu integral tak tentu dan integral tentu.

Integral tak tentu merupakan suatu kebalikan dari turunan. Teman-teman dapat menyebutnya sebagai anti-turunan atau antiderivative. Integral tak tentu dari suatu fungsi menghasilkan fungsi baru yang belum memiliki nilai yang tentu karena masih terdapat variabel dalam fungsi baru tersebut.

Berikut bentuk umumnya:

`\int f\left(x\right)dx`, disebut integral tak tentu dari `f(x)`

Definisi:

Jika `F′(x)=f(x)`, maka `int f(x)dx=F(x)+C`

Notasi `int` dibaca integral dan `f(x)` disebut integran.

Terdapat beberapa aturan dalam integral tak tentu, yaitu sebagai berikut:

Aturan Pangkat

`\int x^ndx=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C, n\ne-1`

Contoh:

Carilah anti turunan dari `f(x)=x^2`

Penyelesaian:

`F(x)=\int x^4dx=\frac{x^{4+1}}{4+1}+C=\frac{1}{5}x^5+C`

Aturan Faktor Konstan

`\int kf(x)dx=k\int f(x)dx`, dimana `k` adalah konstanta

Contoh:

Tentukan `int 5x^2dx`

Penyelesaian:

`\int5x^2dx=5\int x^2dx`

Kemudian menggunakan aturan pangkat, menghasilkan:

`5\int x^2dx\frac{x^3}3+C=\frac{5x^3}3+C`

Aturan jumlah & selisih

`\int\left[f(x)\pm g(x)\right]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx`

Contoh:

Tentukan `int (2x^2+2x)dx`

Penyelesaian:

`\int\left[2x^2+2x\right]dx=\int2x^2dx+\int2xdx`

`=2\int x^2dx+2\int xdx` (aturan faktor konstan)

`=\frac{2x^3}3+\frac{2x^2}2+C` (aturan pangkat)

Demikian blog kali ini, saya harap teman-teman dapat memahami apa yang saya sajikan.

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Comments

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,` `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta` dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2` `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}` ...

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder. 1. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan: `A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)` Oleh karena itu, volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx` Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy` Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\ge...

Integral Fungsi Rasional-Linear

Halo teman-teman! Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional linear. M enurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). Sebelum membahas lebih lanjut, kita harus mengetahui istilah fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati. `f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}` , `g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}`, `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}` fungsi `f` dan `g` disebut dengan fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi `h` merupakan fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contohnya: `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5}=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}` Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan menintegralkan fungsi rasional sejati. Dalam teor...

Matematika Asik

Search This Blog