Skip to main content

Integral Fungsi Rasional-Linear

 Halo teman-teman!

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional linear. Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). 



Sebelum membahas lebih lanjut, kita harus mengetahui istilah fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati. 

`f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}` ,   `g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}`,    `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}`

fungsi `f` dan `g` disebut dengan fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi `h` merupakan fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.


Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contohnya:

`h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5}=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}`

Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan menintegralkan fungsi rasional sejati. Dalam teori, fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.


Contoh:

1. Carilah `\int\frac{2}{(x+1)^3}dx`

Penyelesaian:

Misalkan `u=x+1`, maka `du=dx`

`\int\frac{2}{(x+1)^3}dx=\int\frac{2}{u^3}du`

`=2\int u^-3 du`

`=2.\frac{1}{-2}u^-2 + C`

`=-u^-2 + C`

`=-\frac{1}{u^2}+C`

`=\frac{-1}{(x+1)^2}+C`


2. Hitunglah `\int\frac{3x-2}{x^2-x-6}dx`

Penyelesaian:

Oleh karena `x^2-x-6=(x+2)(x-3)` maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

`\frac{3x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}\frac{B}{x-3}`            (1)

Tentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan. Untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita memperoleh

`3x-1=A(x-3)+B(x+2)`            (2)

`3x-1=Ax-3A+Bx+2B`            (3)

`3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)`            (4)

Perhatikan persamaan (4) yang mana akan bernilai benar jika dan hanya jika koefisien dengan pangkat yang sama di ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, maka

`A+B=3`

`-3A+2B=-1`

Dari dua persamaan tersebut kita peroleh `A=\frac{7}{5}` dan `B=\frac{8}{5}`. Sehingga

`\frac{3x-1}{x^2-x-6}=\frac{3x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{\frac{7}{5}}{x+2} + \frac{\frac{8}{5}}{x-3}`

Dengan demikian,

`\int\frac{3x-1}{x^2-x-6}dx=\frac{7}{5}\int\frac{1}{x+2}dx + \frac{1}{x-3}dx`

                                    `=\frac{7}{5}ln|x+2| + \frac{8}{5}ln|x-3|+C`



ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Ruang Lingkup Profesi Keguruan

RUANG LINGKUP PROFESI KEGURUAN   Dalam profesi kependidikan ada beberapa hal yang dibahas diantaranya: 1.      Profesionalisme keguruan Pengajaran merupakan bagian profesi yang memiliki ilmu maupun teoritikal, keterampilan dan mengharapkan ideologi profesional tersendiri. Oleh sebab itu, seseorang yang bekerja di institusi pendidikan dengan tugas mengajar jika diukur dari teori dan praktik tentang suatu pengetahuan yang mendasarinya, maka guru juga merupakan profesi sebagaimana profesi lainnya. 2.      Otoritas profesional guru Disiplin guru memiliki hubungan dengan anak didik, para guru melaksanakan tugasnya dengan penuh gairah, keriangan, kecekatan (exhilration) dan metode yang bervariasi dalam mendidik anak-anak. Penekanan tugas profesi kependidikan adalah memberi bantuan sampai tuntas (advocation) kepada anak didik, jadi guru yang profesional tidak hanya terkosentrasi pada materi pengajaran, tetapi juga memperhatikan situasi-situasi tertentu. 3.      Kebebasan akademik (
Post a Comment
Read more

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat satu tanda tak hingga.       Contoh:       `\int_0^\infty \frac{dx}{x^2+4}`, integran f(x) mem
Post a Comment
Read more

Sasaran Sikap Profesional dan Pengembangan Sikap

A. Pengertian sikap profesional guru Sikap profesional merupakan sikap seseorang dalam menjalankan pekerjaan yang mencakup keahlian, kemahiran dan kecakapan yang memenuhi standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profesi.  Thursthoen menjelaskan bahwa, “sikap” adalah gambaran kepribadian seseorang yang terlahir melalui gerakan fisik dan tanggapan pikiran terhadap suatu keadaan atau suatu objek. Sedangkan Berkowitz menerangkan sikap seseorang pada suatu objek adalah perasaan atau emosi, dan faktor kedua adalah reaksi/respon atau kecenderungan untuk bereaksi. Sebagai reaksi maka sikap selalu berhubungan dengan dua alternatif, yaitu senang ( like ) atau tidak senang ( dislike ), menurut dan melaksanakan atau menghindari sesuatu.  Profesional adalah pekerjaan atau kegiatan yang dilakukan oleh seseorang dan menjadi sumber penghasilan kehidupan yang memerlukan keahlian, kemahiran, atau kecakapan yang memiliki standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidik
Post a Comment
Read more