Skip to main content

Integral Fungsi Rasional-Linear

 Halo teman-teman!

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional linear. Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). 



Sebelum membahas lebih lanjut, kita harus mengetahui istilah fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati. 

`f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}` ,   `g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}`,    `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}`

fungsi `f` dan `g` disebut dengan fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi `h` merupakan fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.


Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contohnya:

`h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5}=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}`

Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan menintegralkan fungsi rasional sejati. Dalam teori, fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.


Contoh:

1. Carilah `\int\frac{2}{(x+1)^3}dx`

Penyelesaian:

Misalkan `u=x+1`, maka `du=dx`

`\int\frac{2}{(x+1)^3}dx=\int\frac{2}{u^3}du`

`=2\int u^-3 du`

`=2.\frac{1}{-2}u^-2 + C`

`=-u^-2 + C`

`=-\frac{1}{u^2}+C`

`=\frac{-1}{(x+1)^2}+C`


2. Hitunglah `\int\frac{3x-2}{x^2-x-6}dx`

Penyelesaian:

Oleh karena `x^2-x-6=(x+2)(x-3)` maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

`\frac{3x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}\frac{B}{x-3}`            (1)

Tentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan. Untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita memperoleh

`3x-1=A(x-3)+B(x+2)`            (2)

`3x-1=Ax-3A+Bx+2B`            (3)

`3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)`            (4)

Perhatikan persamaan (4) yang mana akan bernilai benar jika dan hanya jika koefisien dengan pangkat yang sama di ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, maka

`A+B=3`

`-3A+2B=-1`

Dari dua persamaan tersebut kita peroleh `A=\frac{7}{5}` dan `B=\frac{8}{5}`. Sehingga

`\frac{3x-1}{x^2-x-6}=\frac{3x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{\frac{7}{5}}{x+2} + \frac{\frac{8}{5}}{x-3}`

Dengan demikian,

`\int\frac{3x-1}{x^2-x-6}dx=\frac{7}{5}\int\frac{1}{x+2}dx + \frac{1}{x-3}dx`

                                    `=\frac{7}{5}ln|x+2| + \frac{8}{5}ln|x-3|+C`



ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...
Post a Comment
Read more

Notasi Sigma

Halo teman-teman! kali ini kita akan membahas mengenai notasi sigma, sebelum membahas lebih lanjut kita harus mengetahui apa sih notasi sigma itu? Notasi  Sigma  yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah. T ujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis penghitungan suatu penjumlahan yang panjang. Penulisan Sigma Perhatikan: `1^2+2^2+3^2+...+100^2` ditulis  `\sum_{i=1}^{100}i^2` `a_1+a_2+a_3+...+a_n` ditulis   `\sum_{i=1}^{n}a_1` `F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)` ditulis  `\sum_{i=m}^{n}F(i)` `c+c+c+...+c` (sebanyak n suku) ditulis `sum_{i=1}^{n}c_i=nc` Sifat-Sifat  Σ Kelinearan  Σ  Misalkan `(a_i )` da...
Post a Comment
Read more

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more