Integral Fungsi Rasional-Linear

Halo teman-teman!

Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional linear. Menurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).

Sebelum membahas lebih lanjut, kita harus mengetahui istilah fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati.

`f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}` , `g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}`, `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}`

fungsi `f` dan `g` disebut dengan fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi `h` merupakan fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut.

Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contohnya:

`h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5}=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}`

Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan menintegralkan fungsi rasional sejati. Dalam teori, fungsi rasional sejati selalu dapat diintegralkan, walaupun pencariannya tidak selalu mudah.

Contoh:

1. Carilah `\int\frac{2}{(x+1)^3}dx`

Penyelesaian:

Misalkan `u=x+1`, maka `du=dx`

`\int\frac{2}{(x+1)^3}dx=\int\frac{2}{u^3}du`

`=2\int u^-3 du`

`=2.\frac{1}{-2}u^-2 + C`

`=-u^-2 + C`

`=-\frac{1}{u^2}+C`

`=\frac{-1}{(x+1)^2}+C`

2. Hitunglah `\int\frac{3x-2}{x^2-x-6}dx`

Penyelesaian:

Oleh karena `x^2-x-6=(x+2)(x-3)` maka penjabaran pecahan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

`\frac{3x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{A}{x+2}\frac{B}{x-3}` (1)

Tentukan A dan B sehingga (1) menjadi suatu kesamaan. Untuk ini kita hilangkan pecahan, sehingga kita memperoleh

`3x-1=A(x-3)+B(x+2)` (2)

`3x-1=Ax-3A+Bx+2B` (3)

`3x-1=(A+B)x+(-3A+2B)` (4)

Perhatikan persamaan (4) yang mana akan bernilai benar jika dan hanya jika koefisien dengan pangkat yang sama di ruas kiri dan ruas kanan adalah sama, maka

`A+B=3`

`-3A+2B=-1`

Dari dua persamaan tersebut kita peroleh `A=\frac{7}{5}` dan `B=\frac{8}{5}`. Sehingga

`\frac{3x-1}{x^2-x-6}=\frac{3x-1}{(x+2)(x-3)}=\frac{\frac{7}{5}}{x+2} + \frac{\frac{8}{5}}{x-3}`

Dengan demikian,

`\int\frac{3x-1}{x^2-x-6}dx=\frac{7}{5}\int\frac{1}{x+2}dx + \frac{1}{x-3}dx`

`=\frac{7}{5}ln|x+2| + \frac{8}{5}ln|x-3|+C`

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Comments

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder. 1. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan: `A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)` Oleh karena itu, volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx` Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy` Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\ge...

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,` `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta` dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2` `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}` ...

Integral Tak Tentu-Metode Substitusi

Halo teman-teman! Setelah mengetahui mengenai Integral, tepatnya integral tak tentu yang sempat saya bahas pada kesempatan yang lalu, sekarang mari kita ketahui mengenai metode pengintegralan. 😄 Terdapat beberapa macam metode pengintegralan yang digunakan untuk menentukan anti-turunan suatu fungsi. Beberapa soal integral fungsi tak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus dasar berikut: `\int ax^ndx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C, n\ne-1` Oleh karena itu, kita harus menggunakan metode/teknik untuk menyelesaikan persoalan integral yang ada. Salah satu dari metodenya akan saya bahas pada kesempatan kali ini yaitu metode substitusi. Metode substitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubstitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `”u”`. Untuk menentukan `\int f(x)dx` kita dapat mensubstitusikan `u = g(x)` dan `du = g'(x)dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah `f(x)dx` menjadi `h(u)du` dan apabila...

Matematika Asik

Search This Blog