Skip to main content

Integral Fungsi Trigonometri

Halo teman-teman! 
Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri.


Selain fungsi aljabar, ternyata integral dapat dioperasikan pada suatu fungsi trigonometri. Sebelum membahas mengenai integral fungsi trigonometri, berikut adalah integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Berikut bentuk dasarnya:
1. `\int sin x dx = − cos x + C`
2. `\int cos x dx = sin x+ C`
3. `\int tan x dx = ln|sec x| + C = −ln|cos x| + C`
4. `\int cot x dx = -ln|csc x| + C = ln|sin x| + C`
5. `\int sec x dx = ln|sec x + tan x| + C`
6. `\int csc x dx = ln|csc x − cot x| + C`

Integral fungsi `tan x` dan `cot x`

Integral dari `tan x` dan `cot x` dapat kita cari dengan memanfaatkan kesamaan bahwa `tan x = \frac{sin x}{cos x}`, lalu memakai teknik integral substitusi. 
Misalkan `u = cos x`, maka `du = - sin x dx`. Sehingga diperoleh:
`\int tan x dx = \int \frac {sin x}{cos x}dx = \int\frac{-1}{u}du`
                        `= -ln |u| + C`
                        `= -ln |cos x| + C`

Dengan cara yang sama, misalkan `u = sin x`, maka `du = cos x dx`. Diperoleh:
`\int cot x dx = \int\frac{cos x}{sin x}dx = \int\frac{1}{u}du`
                        `= ln |u| + C`
                        `= ln |sin x| + C`

Integral fungsi `sec x` dan `csc x`

Untuk mencari integral `sec x`, terlebih dahulu kita kalikan fungsi `sec x` dengan

`\frac{sec x + tan x}{sec x + tan x}`

Sehingga,

`\int sec x dx = \int\frac{sec x(sec x + tan x)}{sec x + tan x}dx`
                 `=\int\frac{sec^2x + tan x sec x}{sec x + tan x}dx`

Misalkan `u = sec x + tan x`. Diperoleh:

`\int sec x dx = ln |sec x + tan x| + C`


Dengan cara yang sama untuk integral `sec x`, kita kalikan fungsi `csc x` dengan
`\frac{csc x + cot x}{csc x + cot x}`

Sehingga,

`\int csc x dx = \int csc x \frac{csc x + cot x}{csc x + cot x}dx`
                   `= -\int\frac{-csc^2 - csc x cot x}{csc x + cot x} dx`

Misalkan `u = csc x + cot x`, maka `du = (-csc x cot x - csc^2 x) dx`. Diperoleh:

`\int csc x dx = -\int\frac{-csc^2 x - csc x cot x}{csc x + cot x}dx`
                  `= -\int\frac{1}{u}du = - ln |u| + C`
                  `= -ln |csc x + cot x| + C`

Contoh Soal

Hitunglah `\int cos (2x + 5) dx`

Pembahasan:

Misalkan `u = 2x + 5` maka
`\frac{du}{dx} = 2x`
`dx = \frac{du}{2}`

Sehingga,

`\int cos (2x - 5) dx = \int cos u \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int cos u du`
                `= \frac{1}{2} sin u + C`
                `= \frac {1}{2} sin (2x + 5) + C`

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...
Post a Comment
Read more

Notasi Sigma

Halo teman-teman! kali ini kita akan membahas mengenai notasi sigma, sebelum membahas lebih lanjut kita harus mengetahui apa sih notasi sigma itu? Notasi  Sigma  yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah. T ujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis penghitungan suatu penjumlahan yang panjang. Penulisan Sigma Perhatikan: `1^2+2^2+3^2+...+100^2` ditulis  `\sum_{i=1}^{100}i^2` `a_1+a_2+a_3+...+a_n` ditulis   `\sum_{i=1}^{n}a_1` `F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)` ditulis  `\sum_{i=m}^{n}F(i)` `c+c+c+...+c` (sebanyak n suku) ditulis `sum_{i=1}^{n}c_i=nc` Sifat-Sifat  Σ Kelinearan  Σ  Misalkan `(a_i )` da...
Post a Comment
Read more

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more