Skip to main content

Integral Fungsi Trigonometri

Halo teman-teman! 
Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri.


Selain fungsi aljabar, ternyata integral dapat dioperasikan pada suatu fungsi trigonometri. Sebelum membahas mengenai integral fungsi trigonometri, berikut adalah integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Berikut bentuk dasarnya:
1. `\int sin x dx = − cos x + C`
2. `\int cos x dx = sin x+ C`
3. `\int tan x dx = ln|sec x| + C = −ln|cos x| + C`
4. `\int cot x dx = -ln|csc x| + C = ln|sin x| + C`
5. `\int sec x dx = ln|sec x + tan x| + C`
6. `\int csc x dx = ln|csc x − cot x| + C`

Integral fungsi `tan x` dan `cot x`

Integral dari `tan x` dan `cot x` dapat kita cari dengan memanfaatkan kesamaan bahwa `tan x = \frac{sin x}{cos x}`, lalu memakai teknik integral substitusi. 
Misalkan `u = cos x`, maka `du = - sin x dx`. Sehingga diperoleh:
`\int tan x dx = \int \frac {sin x}{cos x}dx = \int\frac{-1}{u}du`
                        `= -ln |u| + C`
                        `= -ln |cos x| + C`

Dengan cara yang sama, misalkan `u = sin x`, maka `du = cos x dx`. Diperoleh:
`\int cot x dx = \int\frac{cos x}{sin x}dx = \int\frac{1}{u}du`
                        `= ln |u| + C`
                        `= ln |sin x| + C`

Integral fungsi `sec x` dan `csc x`

Untuk mencari integral `sec x`, terlebih dahulu kita kalikan fungsi `sec x` dengan

`\frac{sec x + tan x}{sec x + tan x}`

Sehingga,

`\int sec x dx = \int\frac{sec x(sec x + tan x)}{sec x + tan x}dx`
                 `=\int\frac{sec^2x + tan x sec x}{sec x + tan x}dx`

Misalkan `u = sec x + tan x`. Diperoleh:

`\int sec x dx = ln |sec x + tan x| + C`


Dengan cara yang sama untuk integral `sec x`, kita kalikan fungsi `csc x` dengan
`\frac{csc x + cot x}{csc x + cot x}`

Sehingga,

`\int csc x dx = \int csc x \frac{csc x + cot x}{csc x + cot x}dx`
                   `= -\int\frac{-csc^2 - csc x cot x}{csc x + cot x} dx`

Misalkan `u = csc x + cot x`, maka `du = (-csc x cot x - csc^2 x) dx`. Diperoleh:

`\int csc x dx = -\int\frac{-csc^2 x - csc x cot x}{csc x + cot x}dx`
                  `= -\int\frac{1}{u}du = - ln |u| + C`
                  `= -ln |csc x + cot x| + C`

Contoh Soal

Hitunglah `\int cos (2x + 5) dx`

Pembahasan:

Misalkan `u = 2x + 5` maka
`\frac{du}{dx} = 2x`
`dx = \frac{du}{2}`

Sehingga,

`\int cos (2x - 5) dx = \int cos u \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int cos u du`
                `= \frac{1}{2} sin u + C`
                `= \frac {1}{2} sin (2x + 5) + C`

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder. 1. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan: `A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)` Oleh karena itu, volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx` Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy` Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\ge...
Post a Comment
Read more

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...
Post a Comment
Read more

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more