Skip to main content

Integral Tentu-Konsep Luas

Hai teman-teman! pada pembahasan sebelumnya kita telah membahas mengenai integral tak tentu, kali ini kita akan membahas mengenai integral tentu.

1. Luas Menurut Poligon Dalam

Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)= x^2`, sumbu `–x`, garis `x = 0` dan `x = 2`. Pertama dipartisikan selang `0\leq x \leq 2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `∆x = \frac{2}{n}`, dan memakai titik-titik: 

`0=x_0<x_1<x_2<...<x_{x-1}<x_n = 2`, sehingga:

`x_0=0`

`x_1=0+∆x=\frac{2}{n}=1(\frac{2}{n})`

`x_2=0+2∆x=\frac{4}{n}=2(\frac{2}{n})`

`x_3=0+3∆x=\frac{6}{n}=3(\frac{2}{n})`

.

.

.

`x_1=0+n∆x=n(\frac{2}{n})=2`


Pada gambar tampak bahwa `L(P_{dalam})<L(P_{luar})`

Luas poligon dalam :

`L(P_{dalam}) = f(x_0)∆x + f(x_1)∆x + f(x_2)∆x + . . . + f(x_{n-1})∆x`

`L(P_{dalam}) = (0)^2 (2/n) + (1(2/n))^2 (2/n) + . . . +(n – 1)(2/n)^2(2/n)`

            `= (2/n)^3 (0^2 + 1^2 + 2^2 + . . . +(n-1)^2)`

            `= (2/n)\sum_{i=0}^{n-1}i^2`

            `= (2/n)^3 (1/6(n-1)(n0(2n-1))`

            `= 8/3-4/n+4/3n^2`

Sehingga, 

`Lim L(P_{dalam})= \lim_{n\rightarrow\infty}(8/3-4/n+4/3n^2)=8/3`


Luas poligon luar:

`L(P_{luar}) = f(x_1 )∆x + f(x_2)∆x + f(x_3)∆x + . . . + f(x_n)∆x`

          `= (1(2/n)^2(2/n) + (2(2/n))^2(2/n)) + . . . +(n (2/n)^2(2/n))`

          `= (2/n)^3(12 + 22 + 32 + . . . + n )^2`

          `= (2/n)^n\sum_{i=0}^{n}i^2`

          `= 8/3+4/n+4/3n^2`

Sehingga,

`Lim L(P_{luar})= \lim_{n\rightarrow\infty}(8/3+4/n+4/3n^2)=8/3`

Menurut teorema apit, maka untuk `L(P_{dalam})<L(P_{luar})` didapat `L(P)=8/3`. 

Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `[a, b]`. Jika nilai `\lim_{|p|\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})\triangle x_i` ada, maka dikatakan bahwa `f` terintegralkan pada `[a, b]`, dan ditulis sebagai `\int_a^bf(x)dx=\lim_{|p|\rightarrow0}\sum_{i=0}^nf(\overline x_i)\triangle x_i`, yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) `f` dari `a` ke `b`.

Pada lambang `\int_a^b f(x)dx`, `a` disebut batas bawah, dan `b` disebut batas atas dari integral tersebut.

Dalam definisi  `\int_a^b f(x)dx`, secara implisit kita menganggap bahwa  `a<b`. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.

`\int_a^b f(x)dx=0`

`\int_a^b f(x)dx` = -`\int_a^b f(x)dx`, a>b

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.


Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder. 1. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan: `A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)` Oleh karena itu, volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx` Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy` Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\ge...
Post a Comment
Read more

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...
Post a Comment
Read more

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more