Integral Tentu-Konsep Luas

Hai teman-teman! pada pembahasan sebelumnya kita telah membahas mengenai integral tak tentu, kali ini kita akan membahas mengenai integral tentu.

1. Luas Menurut Poligon Dalam

Sebagai contoh, akan dicari L(P) Luas Daerah datar yang dibatasi oleh kurva `y=f(x)= x^2`, sumbu `–x`, garis `x = 0` dan `x = 2`. Pertama dipartisikan selang `0\leq x \leq 2` atas selang bagian yang sama dengan panjang `∆x = \frac{2}{n}`, dan memakai titik-titik: 

`0=x_0<x_1<x_2<...<x_{x-1}<x_n = 2`, sehingga:

`x_0=0`

`x_1=0+∆x=\frac{2}{n}=1(\frac{2}{n})`

`x_2=0+2∆x=\frac{4}{n}=2(\frac{2}{n})`

`x_3=0+3∆x=\frac{6}{n}=3(\frac{2}{n})`

.

.

.

`x_1=0+n∆x=n(\frac{2}{n})=2`

Pada gambar tampak bahwa `L(P_{dalam})<L(P_{luar})`

Luas poligon dalam :

`L(P_{dalam}) = f(x_0)∆x + f(x_1)∆x + f(x_2)∆x + . . . + f(x_{n-1})∆x`

`L(P_{dalam}) = (0)^2 (2/n) + (1(2/n))^2 (2/n) + . . . +(n – 1)(2/n)^2(2/n)`

            `= (2/n)^3 (0^2 + 1^2 + 2^2 + . . . +(n-1)^2)`

            `= (2/n)\sum_{i=0}^{n-1}i^2`

            `= (2/n)^3 (1/6(n-1)(n0(2n-1))`

            `= 8/3-4/n+4/3n^2`

Sehingga, 

`Lim L(P_{dalam})= \lim_{n\rightarrow\infty}(8/3-4/n+4/3n^2)=8/3`

Luas poligon luar:

`L(P_{luar}) = f(x_1 )∆x + f(x_2)∆x + f(x_3)∆x + . . . + f(x_n)∆x`

          `= (1(2/n)^2(2/n) + (2(2/n))^2(2/n)) + . . . +(n (2/n)^2(2/n))`

          `= (2/n)^3(12 + 22 + 32 + . . . + n )^2`

          `= (2/n)^n\sum_{i=0}^{n}i^2`

          `= 8/3+4/n+4/3n^2`

Sehingga,

`Lim L(P_{luar})= \lim_{n\rightarrow\infty}(8/3+4/n+4/3n^2)=8/3`

Menurut teorema apit, maka untuk `L(P_{dalam})<L(P_{luar})` didapat `L(P)=8/3`. 

Andaikan f suatu fungsi yang terdiri dari pada selang `[a, b]`. Jika nilai `\lim_{|p|\rightarrow0}\sum_{i=1}^nf(\overline{x_i})\triangle x_i` ada, maka dikatakan bahwa `f` terintegralkan pada `[a, b]`, dan ditulis sebagai `\int_a^bf(x)dx=\lim_{|p|\rightarrow0}\sum_{i=0}^nf(\overline x_i)\triangle x_i`, yang disebut integral tentu (atau Integral Rieman) `f` dari `a` ke `b`.

Pada lambang `\int_a^b f(x)dx`, `a` disebut batas bawah, dan `b` disebut batas atas dari integral tersebut.

Dalam definisi  `\int_a^b f(x)dx`, secara implisit kita menganggap bahwa  `a<b`. Menghilangkan batasan itu dengan definisi-definisi berikut.

`\int_a^b f(x)dx=0`

`\int_a^b f(x)dx` = -`\int_a^b f(x)dx`, a>b

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.