Notasi Sigma

Halo teman-teman! kali ini kita akan membahas mengenai notasi sigma, sebelum membahas lebih lanjut kita harus mengetahui apa sih notasi sigma itu?

Notasi Sigma yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah.

Tujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

Penulisan Sigma

Perhatikan:

`1^2+2^2+3^2+...+100^2` ditulis `\sum_{i=1}^{100}i^2`

`a_1+a_2+a_3+...+a_n` ditulis `\sum_{i=1}^{n}a_1`

`F(m)+F(m+1)+F(m+2)+...+F(n)` ditulis `\sum_{i=m}^{n}F(i)`

`c+c+c+...+c` (sebanyak n suku) ditulis `sum_{i=1}^{n}c_i=nc`

Sifat-Sifat Σ

Kelinearan Σ Misalkan `(a_i)` dan `(b_i)` menyatakan dua barisan dan `c` suatu konstanta. Maka:

(i) `\sum_{i=1}^{n}ca_i=c\sum_{i=1}^{n}a_i`;

(ii) `\sum_{i=1}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_1+\sum_{i=2}^{n}b_i`;

(iii) `\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)=\sum_{i=1}^{n}a_1-\sum_{i=2}^{n}b_i`.

Perubahan Indeks Jumlah

contoh nyatakan `\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}` dalam notasi sigma sehingga batas bawah dari sigma adalah nol.

penyelesaian misalkan indeks baru adalah `j`, maka

`j=k-3`

sehingga jika `k=3`, maka `j=0`, dan jika `k=7`, maka `j=4`. Jadi `j` bergerak dari `j=0` sampai `j=4`. Sehingga:

`\sum_{k=3}^{7}5^{k-2}=\sum_{j=0}^{4}5^{(j+3)-2}=\sum_{j=0}^{4}5^{j+1}`

Beberapa Jumlah Khusus

(a) `\sum_{k=1}^{n}k=1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2}`

(b) `\sum_{k=1}^{n}k^2=1^2+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}`

(c) `\sum_{i=1}^nk^3=1^3+2^3+3^3+...+n^3=\left[\frac{n(n+1)}2\right]^2`

(d) `\sum_{k=1}^{n}k^4=1^4+2^4+3^4+...+n^4=\frac{n(n+1)(6n^3+9n^2+n-1)}{30}`

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.