Skip to main content

Aplikasi Integral Tertentu-Luas Suatu Luasan

Halo teman-teman kali ini kita akan membahas mengenai aplikasi integral tentu yaitu luas suatu luasan.

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan `y=f (x)` atau `x =g(y)` atau `y=f (x)`, `x=g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu- atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu`-y`. Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.


Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu`-x` atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu`-y`. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.


Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat. 
Perhatikan gambar luasan dibawah ini 


R sebagaimana terlihat pada gambar di atas adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x), x=a, x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan `A(R)=\int_a^b f(x) dx`
Jika luasan di bawah sumbu`-x`, maka integral tentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.
`A(R)=\int_a^b -f(x)dx=|\int_a^b f(x)dx|`

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut: 
a) Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat. 
b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu`-x` atau sumbu`-y`, selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.
c) Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang. 
d) Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk. 
e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan. 


Contoh

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y=4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat. 

Jawab:

Luasan `y=4-x^2` yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah 

di atas luasan yang diketahui berada di atas sumbu`-x` sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:

`A(R)=\int_a^b f(x)dx`

`=\int_-2^2 (4-x^2)dx`

`=2\int_-2^2 (4-x^2)dx`

`=2\left(4x-\frac{1}{3}x^3\right)_0^2`

`=2(4.2-\frac{1}{3}.2^3)-2(4.0-1/3 .0^3)`

`=2(8-8/3)=32/3`


ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.




Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...
Post a Comment
Read more

Integral Tak Tentu-Metode Substitusi

Halo teman-teman!  Setelah mengetahui mengenai Integral, tepatnya integral tak tentu yang sempat saya bahas pada kesempatan yang lalu, sekarang mari kita ketahui mengenai metode pengintegralan. 😄 Terdapat beberapa macam metode pengintegralan yang digunakan untuk menentukan anti-turunan suatu fungsi.  Beberapa soal integral fungsi tak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus dasar berikut: `\int ax^ndx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C, n\ne-1` Oleh karena itu, kita harus menggunakan metode/teknik untuk menyelesaikan persoalan integral yang ada. Salah satu dari metodenya akan saya bahas pada kesempatan kali ini yaitu metode substitusi. Metode substitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubstitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `”u”`. Untuk menentukan `\int f(x)dx` kita dapat mensubstitusikan `u = g(x)` dan `du = g'(x)dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah `f(x)dx` menjadi `h(u)du` dan apabila...
Post a Comment
Read more