Aplikasi Integral Tertentu-Luas Suatu Luasan

Halo teman-teman kali ini kita akan membahas mengenai aplikasi integral tentu yaitu luas suatu luasan.

Luasan didefinisikan sebagai suatu daerah dalam bidang XOY dengan persamaan `y=f (x)` atau `x =g(y)` atau `y=f (x)`, `x=g(y)` yang berbatasan dengan sumbu-sumbu koordinat atau garis yang sejajar sumbu koordinat. Luasan dalam bidang dapat dikelompokkan menjadi luasan positif dan luasan negatif. Luasan positif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di atas sumbu- atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kanan sumbu`-y`. Berikut ini gambar luasan positif yang dimaksud.

Luasan negatif adalah luasan dengan persamaan `y=f(x)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak di bawah sumbu`-x` atau luasan dengan persamaan `x=g(y)` dan sumbu-sumbu koordinat yang terletak disebelah kiri sumbu`-y`. Berikut ini gambar luasan negatif tersebut.

Daerah antara Kurva dan Sumbu Koordinat.

Perhatikan gambar luasan dibawah ini

R sebagaimana terlihat pada gambar di atas adalah luasan yang dibatasi oleh kurva-kurva `y=f(x), x=a, x=b`. Dengan menggunakan integral tertentu luas luasan dinyatakan dengan `A(R)=\int_a^b f(x) dx`

Jika luasan di bawah sumbu`-x`, maka integral tentu di atas bernilai negatif, karena luas daerah tidak mungkin bilangan negatif maka nilai integral tersebut dimutlakkan.

`A(R)=\int_a^b -f(x)dx=|\int_a^b f(x)dx|`

Untuk menghitung luas luasan dengan integral tertentu dapat diikuti langkah-langkah sebagai berikut:

a) Sketsakan daerah yang akan ditentukan luasnya sehingga tampak jelas batas-batasnya dan mudah dilihat.

b) Buatlah garis-garis yang sejajar sumbu`-x` atau sumbu`-y`, selanjutnya irislah (bagi) luasan dalam bidang yang disebut partisi dan berikan nomor pada masing-masing partisi yang terbentuk.

c) Aproksimasikan luas masing-masing partisi tertentu dengan menganggapnya sebagai sebuah persegi panjang.

d) Jumlahkan aproksimasi dari luas masing-masing partisi pada luasan yang telah dibentuk.

e) Dengan menggunakan limit dari jumlah luas partisi diatas dengan lebar masing-masing partisi menuju 0, maka diperoleh integral tertentu yang merupakan luas luasan.

Contoh

Tentukan luas luasan yang dibatasi oleh kurva `y=4-x^2` dan sumbu-sumbu koordinat.

Jawab:

Luasan `y=4-x^2` yang dibatasi sumbu-sumbu koordinat gambarnya adalah

di atas luasan yang diketahui berada di atas sumbu`-x` sehingga luasnya dapat dinyatakan dengan menggunakan integral, yaitu:

`A(R)=\int_a^b f(x)dx`

`=\int_-2^2 (4-x^2)dx`

`=2\int_-2^2 (4-x^2)dx`

`=2\left(4x-\frac{1}{3}x^3\right)_0^2`

`=2(4.2-\frac{1}{3}.2^3)-2(4.0-1/3 .0^3)`

`=2(8-8/3)=32/3`

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Comments

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,` `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta` dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2` `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}` ...

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder. 1. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan: `A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)` Oleh karena itu, volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx` Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy` Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\ge...

Integral Fungsi Rasional-Linear

Halo teman-teman! Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional linear. M enurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom). Sebelum membahas lebih lanjut, kita harus mengetahui istilah fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati. `f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}` , `g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}`, `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}` fungsi `f` dan `g` disebut dengan fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi `h` merupakan fungsi rasional tidak sejati karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contohnya: `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5}=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}` Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan menintegralkan fungsi rasional sejati. Dalam teor...

Matematika Asik

Search This Blog