Skip to main content

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder.

1. Metode Cakram

Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b].

Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan:

`A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)`

Oleh karena itu, volume benda putar:

`V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx`

Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar:

`V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy`

Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\geq 0, y=g(x)\geq 0, f(x)\geq g(x)` untuk setiap diputar terhadap sumbu-`x`, maka volume:

`V=\int_a^b \pi ((f(x))^2-(g(x))^2) dx`

Bila daerah yang dibatasi oleh `x=f(y)\geq 0, x=g(y)\geq 0, f(y)\geq g(y)` untuk setiap `y\in [c,d],x=c` dan `x=d` diputar terhadap sumbu-`y` , maka volume:

`V=\int_a^b \pi ((f(y))^2-(g(y))^2) dx`

 

2. Metode Cincin

Metode cincin merupakan metode yang dibentuk oleh hasil putaran persegi panjang terhadap sumbu putaran tertentu (sumbu putaran tidak berimpit dengan sisi persegi panjang), seperti gambar berikut.


Jika `r` dan `R` secara berturut-turut merupakan jari-jari dalam dan luar dari cincin dan `t` merupakan ketebalan cincin, maka volumenya dapat ditentukan sebagai berikut.

`V=\pi (R^2-r^2)t`

Untuk mengetahui bagaimana konsep ini dapat digunakan untuk menentukan volume benda putar, perhatikan daerah yang dibatasi oleh jari-jari luar `R(x)` dan jari-jari dalam `r(x)` seperti yang ditunjukkan gambar di bawah ini.

Jika daerah tersebut diputar menurut sumbu putar yang diberikan, volume benda putar yang dihasilkan adalah

`V=\pi \int­_a^b[(R(x))^2-(r(x))^2]dx`

 

3. Metode Kulit Silinder

Benda putar yang terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan dalamnya berbeda, maka volume yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung.

Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=b` diputar mengelilingi sumbu-`y` maka kita dapat memandang bahwa jari-jari `r=x` dan `r=x` dan tinggi tabung `h=f(x). Volume benda putar yang terjadi adalah:

`V=\int­_a^b  2 \pi x f(x) dx`

Misal daerah dibatasi oleh kurva `y=f(x), y=g(x), f(x)\geq g(x), x \in [a,b], x=a` dan `x=b` diputar mengelilingi sumbu-`y` . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=\int_a^b 2 \pi x (f(x)-g(x))dx`

Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan `x=f(x), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`x` . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=\int_c^d 2 \pi y f(y) dy`

Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh `x=f(y), x=g(y), f(y)\geq g(y), y \in [c,d], y=c`  diputar mengelilingi sumbu-`x` . Maka, volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan

`V=\int_c^d 2 \pi y (f(y)-g(y)) dy`

Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more

none

 
Post a Comment
Read more

Sasaran Sikap Profesional dan Pengembangan Sikap

A. Pengertian sikap profesional guru Sikap profesional merupakan sikap seseorang dalam menjalankan pekerjaan yang mencakup keahlian, kemahiran dan kecakapan yang memenuhi standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan pendidikan profesi.  Thursthoen menjelaskan bahwa, “sikap” adalah gambaran kepribadian seseorang yang terlahir melalui gerakan fisik dan tanggapan pikiran terhadap suatu keadaan atau suatu objek. Sedangkan Berkowitz menerangkan sikap seseorang pada suatu objek adalah perasaan atau emosi, dan faktor kedua adalah reaksi/respon atau kecenderungan untuk bereaksi. Sebagai reaksi maka sikap selalu berhubungan dengan dua alternatif, yaitu senang ( like ) atau tidak senang ( dislike ), menurut dan melaksanakan atau menghindari sesuatu.  Profesional adalah pekerjaan atau kegiatan yang dilakukan oleh seseorang dan menjadi sumber penghasilan kehidupan yang memerlukan keahlian, kemahiran, atau kecakapan yang memiliki standar mutu atau norma tertentu serta memerlukan...
Post a Comment
Read more