Skip to main content

Volume Benda Putar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version.

Apa sih volume benda putar itu? Volume benda putar di sini maksudnya suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva kemudian diputar terhadap suatu garis tertentu yang biasanya diputar membakar sumbu  `X` atau sumbu `Y` dengan satu putaran penuh yaitu 360 derajat.

Berikut ilustrasi volume benda putar menggunakan integral dengan memutar suatu daerah mengelilingi sumbu `X` seperti gambar berikut ini:

Dari gambar ilustrasi di atas, gambar daerah pertama berupa lingkaran diputar mengelilingi sumbu `X` sehingga terbentuk bangun ruang kerucut, dan gambar daerah kedua berupa setengah lingkaran diputar mengelilingi sumbu `X` sehingga terbentuk bangun ruang bola.

 

a. Pemutaran Mengelilingi Sumbu `X`

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi `y=f(x)`, sumbu `x`, dan garis-garis `x=a` dan `x=b`. Jika daerah itu diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu `x`, maka akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral

`V=\pi\int_a^b y^2 dx`

 

b. Pemutaran Mengelilingi Sumbu `Y`

Untuk menentukan volume benda putar yang mengelilingi sumbu y, caranya hampir sama dengan sumbu `x`. Mungkin perbedaannya terletak pada fungsi dan batas-batasnya saja. Jika, mengelilingi sumbuk fungsinya adalah `y=f(x)` maka jika mengelilingi sumbu `y` menjadi `x=g(y)`. Batas-batasnya juga demikian jika pada sumbu `x` batas-batasnya `x=a` dan `x=b`, pada sumbu `y` batas-batasnya adalah `y=c` dan `y=d`. Untuk lebih jelasnya sebagai berikut.

Misalkan R adalah daerah yang dibatasi oleh grafik fungsi `x=g(y)`, sumbu `y`, dan garis-garis `y=c` dan `y=d` diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu `y`. Maka, akan diperoleh sebuah benda putar yang volumenya dapat ditentukan dengan rumus integral

`V=\pi\int_a^b x^2 dy`


Contoh pemutaran mengelilingi sumbu `x`

Daerah yang dibatasi oleh garis `y=x+3`, sumbu `x`, `x=0`, dan `x=3` diputar 360 derajat mengelilingi sumbu `x`. Besar volume benda putar yang terjadi adalah ...

Penyelesaian

`V=\pi\int_0^3 (x+3)^2 dx`

`V=\pi\int_0^3 (x^2+6x+3) dx`

`V=\pi[(\frac{1}{3}x^3+3x^2+3x)]_0^3`

`V=\pi[(\frac{1}{3}(2)^3+3(2)^2+3(2))- (\frac{1}{3}(0)^3+3(0)^2+3(0))]`

`V=\pi[(\frac{8}{3}+12+6)-0]`

`V=\pi[\frac{8}{3}+18]`

`V=\frac{62}{3}\pi`

Jadi, volume benda putar tersebut adalah `\frac{62}{3}\pi` satuan volume.

Contoh pemutaran mengelilingi sumbu `y`

Hitunglah volume benda putar dari daerah yang dibatasi oleh garis `y=\frac{1}{3}x`, sumbu `y`, `y=1` dan `y=2`, diputar sejauh 360 derajat mengelilingi sumbu `y`!

Penyelesaian

Pertama kita ubah dulu persamaan `y=\frac{1}{3}x` menjadi `x=3y`

`V=\pi\int_1^2 (3y)^2 dy`

`V=\pi\int_1^2 9y^2 dy`

`V=\pi[\frac{9}{3}y^3]­_1^2`

`V=\pi[3y^3]­_1^2`

`V=\pi[3(2)^3-3(1)^3]­`

`V=\pi[24-3]­`

`V=21\pi­`

Jadi, volume benda putar tersebut adalah 21𝜋  satuan volume.


Comments

Post a Comment

Popular posts from this blog

Volume Benda Putar Part 2

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap suatu sumbu, dapat dilakukan dengan menggunakan tiga buah metode, yaitu metode cakram, metode cincin dan metode kulit silinder. 1. Metode Cakram Misal daerah dibatasi oleh `y=f(x), y=0, x=1,` dan `x=b` diputar terhadap sumbu-`x`. Volume benda-pejal/padat yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda-pejal tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang [a,b]. Misal pusat cakram `(x_0,0) dan jari-jari `r`. Maka luas cakram dinyatakan: `A(x_0)=\pi (f(x_0))^2=\pi f^2(x_0)` Oleh karena itu, volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (f(x))^2 dx` Apabila grafik fungsi dinyatakan dengan `x=g(y), x=0, y=c, y=d` diputar mengelilingi sumbu-`y` , maka volume benda putar: `V=\pi \int_a^b (g(y))^2 dy` Bila daerah yang dibatasi oleh `y=f(x)\ge...
Post a Comment
Read more

Integral Substitusi Trigonometri

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...
Post a Comment
Read more

Integral Tak Wajar

ps: apabila persamaannya tidak dapat terbaca, saya sarankan agar mengubah ke tampilan web/web version . Tidak semua integral fungsi dapat diselesaikan dengan teorema dasar kalkulus. Bentuk `\int_a^b f(x) dx` disebut Integral Tidak Wajar jika: a.    Integran `f(x)` mempunyai sekurang-kurangnya satu titik yang tidak kontinu   (diskontinu) di [a,b], sehingga mengakibatkan `f(x)` tidak terdefinisi di titik tersebut.   Pada kasus ini teorema dasar kalkulus   `\int_a^b f(x) dx=F(b)–F(a)` tidak berlaku lagi. Contoh:       `\int_0^4 \frac{dx}{4-x}`, f(x) tidak kontinu di batas atas x = 4 atau f(x) kontinu di [0,4)       `\int_1^2 \frac{dx}{\sqrt{x-1}}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di (1,2]       `\int_0^4 \frac{dx}{(2-x)^2/3}`, f(x) tidak kontinu di batas bawah x = 1 atau f(x) kontinu di [0,2) `\cup` (2,4]   b.   Batas integrasinya paling sedikit memuat...
Post a Comment
Read more