Matematika Asik

Halo teman-teman! Setelah membahas mengenai integral fungsi rasional linear, kali ini kita akan membahas integral fungsi rasional kuadrat nih! Dalam memfaktorkan penyebut suatu pecahan kemungkinan ada faktor kuadrat, misalnya `x^2+1`, yang tak dapat lagi diuraikan menjadi faktor-faktor linear tanpa mengenalkan bilangan kompleks. Berikut ini contoh integral fungsi rasional dengan faktor kuadrat `\int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}` Penyelesaian: `\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{4x+1}+\frac{Bx+C}{x^2+1}` `6x^2-3x+1=A(x^2+1)+(Bx+C)(4x+1)` `6x^2-3x+1=(Ax^2+A)+(4Bx^2+4Cx+Bx+C)` `6x^2-3x+1=(Ax^2+4Bx^2)+(4Cx+Bx)+(A+C)` `6x^2-3x+1=(A+4B)x^2+(4C+B)x+(A+C)` `A+4B=6` (i) `B+4C=-3` (ii) `A+C=1`           (iii) Dari ketiga persamaan di atas, maka diperoleh `A=2, B=1, C=-1` . Sehingga: `\int\frac{6x^2-3x+1}{(4x+1)(x^2+1)}dx=\int\frac{2}{4x+1}dx+\int\frac{x-1}{x^2+1}dx` `=\int\frac{2}{4x+1}dx+\int\frac{x}{x^2+1}dx-\imt\frac{1}{x^2+1}` `=\frac{2}{4}ln|4x...

 Halo teman-teman! Pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai integral fungsi rasional linear. M enurut definisi, suatu fungsi rasional adalah hasil bagi dua fungsi suku banyak (polinom).  Sebelum membahas lebih lanjut, kita harus mengetahui istilah fungsi rasional sejati dan fungsi rasional tidak sejati.  `f(x)=\frac{2}{(x+1)^3}`  ,   `g(x)=\frac{2x+2}{x^2-4x+8}`,     `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5x}` fungsi `f` dan `g` disebut dengan fungsi rasional sejati karena derajat pembilang kurang dari derajat penyebut. Sebaliknya, fungsi `h` merupakan fungsi rasional tidak sejati  karena pangkat pembilang lebih besar dari pangkat penyebut. Fungsi rasional tidak sejati selalu dapat ditulis sebagai jumlah dari fungsi suku banyak dan fungsi rasional sejati. Contohnya: `h(x)=\frac{x^5+2x^3-x+1}{x^3+5}=x^2-3+\frac{14x+1}{x^3+5x}` Persoalan mengintegralkan fungsi rasional terletak pada persoalan menintegralkan fungsi rasional sejati. Dalam teor...

Halo teman-teman! Pada pembahasan sebelumnya kita telah membahas mengenai metode substitusi, nah pada kesempatan kali ini kita akan membahas bersama mengenai integral parsial. Apa sih integral parsial itu? Integral parsial adalah teknik integral menggunakan cara parsial yaitu penggunaannya dilakukan jika suatu integral tidak bisa diselesaikan dengan cara biasa maupun cara substitusi. Rumus Integral Parsial Jika ditemukan dua bagian dalam suatu integral yang tidak terdapat turunan antara bagian satu dengan yang lainnya, maka perlu cara penyelesaian dengan menggunakan teknik integral parsial. `\int udv = uv-\int vdu` Keterangan masing-masing variabel di atas yaitu: `u = f(x)`, maka `du = f(x) dx` `dv = g(x)dx`, maka `v = g(x)dx` Contoh: 1.    Tentukan `\int 2x(5x+1)^6 dx` Misal `u=2x` maka `du=2 dx` `dv= (5x+1)^6 dx` maka `v=\frac{1}{5}\frac{1}{7}(5x+1)^7=\frac{1}{35}(5x+1)^7`  `\int 2x(5x+1)^6dx=2x\frac{1}{35}(5x+1)^7-\int\frac{1}{35}(5x+1)^7 2 dx`      ...

Halo teman-teman! Sebelumnya kita telah membahas mengenai Integral Fungsi Trigonometri, pada kesempatan kali ini kita akan membahas mengenai Integral Substitusi Trigonometri. Substitusi trigonometri dapat digunakan untuk menyelesaikan integral yang memuat bentuk akar, seperti: `\sqrt{a^2-x^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{a^2+x^2}=\sqrt{x^2+a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` `\sqrt{x^2-a^2}, a > 0, a \in\mathbb{R}` Tujuan dari penggunaan substitusi trigonometri adalah untuk menghilangkan akar tersebut dalam integran. Kita dapat melakukan hal ini dengan menggunakan identitas Pythagoras. `cos^2\theta=1-sin^2\theta,`   `sec^2\theta=1+tan^2\theta,` dan    `tan^2\theta=sec^2\theta-1` Sebagai contoh, jika `a>0`, misalkan , `x=a sin \theta`   dengan `–\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2},` Maka `\sqrt{a^2-x^2}=\sqrt{a^2-(a sin\theta)}^2`           `=\sqrt{a^2(1-sin^2\theta)}`       ...

Halo teman-teman!  Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai integral fungsi trigonometri. Selain fungsi aljabar, ternyata integral dapat dioperasikan pada suatu fungsi trigonometri. Sebelum membahas mengenai integral fungsi trigonometri, berikut adalah integral dasar fungsi trigonometri yang menjadi acuan untuk menentukan hasil pengintegralan dengan teknik fungsi trigonometri. Berikut bentuk dasarnya: 1. `\int sin x dx = − cos x + C` 2. `\int cos x dx = sin x+ C` 3. `\int tan x dx = ln|sec x| + C = −ln|cos x| + C` 4. `\int cot x dx = -ln|csc x| + C = ln|sin x| + C` 5. `\int sec x dx = ln|sec x + tan x| + C` 6. `\int csc x dx = ln|csc x − cot x| + C` Integral fungsi `tan x` dan `cot x` Integral dari `tan x` dan `cot x` dapat kita cari dengan memanfaatkan kesamaan bahwa `tan x = \frac{sin x}{cos x}`, lalu memakai teknik integral substitusi.  Misalkan `u = cos x`, maka `du = - sin x dx`. Sehingga diperoleh: `\int tan x dx = \int \frac {sin x}{cos x}dx = \int\frac{-1}...

Halo teman-teman!  Setelah mengetahui mengenai Integral, tepatnya integral tak tentu yang sempat saya bahas pada kesempatan yang lalu, sekarang mari kita ketahui mengenai metode pengintegralan. 😄 Terdapat beberapa macam metode pengintegralan yang digunakan untuk menentukan anti-turunan suatu fungsi.  Beberapa soal integral fungsi tak dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus dasar berikut: `\int ax^ndx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}+C, n\ne-1` Oleh karena itu, kita harus menggunakan metode/teknik untuk menyelesaikan persoalan integral yang ada. Salah satu dari metodenya akan saya bahas pada kesempatan kali ini yaitu metode substitusi. Metode substitusi merupakan suatu metode penyelesaian integral dengan cara mensubstitusikan atau mengganti fungsi `f(x)` dengan simbol `”u”`. Untuk menentukan `\int f(x)dx` kita dapat mensubstitusikan `u = g(x)` dan `du = g'(x)dx` dengan `g` fungsi yang dapat diintegralkan. Apabila substitusi itu mengubah `f(x)dx` menjadi `h(u)du` dan apabila...